![]()
Загрузка...
| Решение задач симплекс методом
Загрузка...
ЗАДАЧА 1 3-я итерация Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таблице. Рассчитать план и провести его анализ.
Цех кондитерской фабрики вырабатывает три ассортиментные группы конфет, условно обозначенные М1, М2, М3 /в ед./. Для их производства используются основные виды ресурсов /сырья/ трех видов, условно названных П1, П2, П3 /в ед./. Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является заданной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а11, a12..., а33, где а - норма расхода, первая подстрочная 1 – номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 – номер ассортиментной группы конфет. Наличие каждого ресурса для производства всех, групп конфет принимается как известная величина и обозначается символами в1, в2, в3. Прибыль на продукцию также принимается как известная величина и обозначается символами c1, c2, с3. Перечисленные параметры являются величинами известными и выражаются в единых единицах измерения, кроме прибыли. Прибыль или другой какой показатель, являющийся критерием оптимальности, выражается в единицах измерения дохода /например, прибыли/, получаемого от производства единицы продукции в денежном или другом каком-нибудь выражении. Поскольку решение задачи заключается в поиске такого плана производства, который обеспечивал бы в принятых условиях наибольший доход, принимаются те величины, которые являются неизвестными и обозначающими количества каждой группы конфет, включаемых в план производства: x1 для M1; х2 для М2; х3 для М3. Экономико-математическая модель в символическом виде. Система ограничений Целевая функция /суммарный доход/ F = с1х1 + с2х2 + с3х3 = мах Условия неотрицательности неизвестных х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0 Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь следующий вид: 2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 266 1x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 200 3x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 303 Прибыль от реализации выпускаемой продукции должна быть максимальной, то есть F = 20х1 + 24х2 + 28х3 = max; Решение задачи. Для решения задачи симплексным методом неравенства преобразуются в эквивалентные равенства путем добавления в каждое неравенство по одному дополнительному неизвестному с коэффициентом + 1 и нулевым уравнением прибыли. Для удобства расчетов левые и правые части уравнений меняются местами. В этом случае исходные неравенства примут вид симплексных уравнений: 266 = 2x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4 200 = 1x1 + 3x2 + 4x3 + 1x5 303 = 3x1 + 2х2 + 1x3 + 1x6 F = 20х1 + 24х2 + 28х3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Коэффициенты при неизвестных записываются в симплексной таблице, в которой выполняются расчеты и отражаются полученные результаты. Исходная таблица
В нижней строке (целевой) записываются получаемые расчетным путем показатели: в столбце х0 – суммарная прибыль планового выпуска, в остальных столбцах – прибыль единицы продукции с отрицательным знаком. В последних трех столбцах коэффициенты при дополнительных неизвестных, равные единице, расположены по диагонали. Эта часть таблицы, называемая единичной подматрицей, необходима для вычислительных и аналитических целей. При решении задач на максимум целевой функции наличие в целевой строке отрицательных чисел указывает на возможность начала или продолжения решения задачи. Порядок решения таков: из отрицательных чисел целевой строки выбирается наибольшее по модулю. Столбец, в котором оно находится, принимается за ключевой (или разрешающий) и для удобства расчетов выделяется. В нашем примере таким столбцом будет Х3, имеющий в целевой строке наибольшую по модулю величину -28. 1-ая итерация
Далее элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу. Первоначально преобразуют элементы ключевой строки путем деления их на ключевой элемент. Преобразованные элементы записывают в том же самом месте. В столбцах Ро и Cj занимают место вводимая в план неизвестная х3 с прибылью 28 (итерация 1-я). Остальные элементы преобразуются по следующему правилу: - для преобразуемого элемента в его столбце находят элемент ключевой строки, а в его строке - элемент ключевого столбца; - соответствующие элементы ключевой строки и ключевого столбца перемножаются и полученное произведение делят на ключевой момент; - частное от деления вычитают из значения элемента, которое он имел до преобразования, и полученный результат будет преобразованным элементом, который записывается в новую таблицу в том же самом месте. Следуя этому правилу, преобразование элементов столбца х0 будет: Включение на первой итерации в план неизвестной х3 обеспечит сумму прибыли 1400 руб. Решение задачи продолжается, так как в целевой строке два отрицательных элемента. Наибольший по модулю элемент -13. Он находится в столбце х1, который принимается за ключевой, а ключевой строкой будет х6 (116:1,3=92,8; 50:0,3=200; 253:2,8=92), ключевым элементом 2,8. Элементы таблицы преобразуются в том же порядке по изложенному правилу и записываются в новую таблицу. 2-я итерация
Как видно из таблицы, оптимальный план предусматривает выпуск продукции П1 27 ед. (х1 = 27), П3 92 ед. (х3 = 92), дополнительного неизвестного П4 1 ед. (х4 = 1). П2 и дополнительные неизвестные в план не вошли, следовательно, х2 = 0, х5 = 0 х6 = 0. Подставив значения неизвестных в уравнения, получим: 2 * 92 + 4 * 0 + 3 * 27 + 1 = 266 1 * 92 + 3 * 0 + 4 * 27 + 0 = 200 3 * 92 + 2 * 0 + 1 * 27 + 0 = 303 F = 20 * 92 + 24 * 0 + 27 * 28 = 2596 Анализ оптимального плана. а) Запасы сырья трех видов используются не полностью, так как х4 = 1, а х5 = х6 = 0. б) Рассмотрим элементы матрицы. От выпуска продукции II следует отказаться. Элементы столбца х5 показывают, что увеличение запасов сахара на I ед. (х5 = 1) позволит увеличить выпуск продукции III вида на 0,3 ед. Сумма прибыли увеличится на 5,8 руб. Элементы столбца х6 показывают, что увеличение запасов жира на I ед. (х6 = 1) позволит уменьшить выпуск только продукции III вида на 0,1 ед. (27 - 0.1) Сумма прибыли увеличится на 4,7 руб. Снижение запасов сырья приводит к изменениям выпуска продукции и суммы прибыли в обратном порядке. Элементы целевой строки оптимального плана называются двойственными оценками, которые определяют величину изменения прибыли при изменении запасов сырья на I ед. ЗАДАЧА 2 Требуется определить минимальную по стоимости смесь сырья для изготовления пищевых концентратов, которые должны содержать питательные вещества (П). Эти вещества содержаться в сырье (М) в различных сочетаниях. Содержание питательных веществ в сырье и готовом продукте, а также цена на каждый вид сырья показаны в таблице.
Исходные условия задачи выражаются неравенствами: 1х1 + 1х2 + 0х3 ≥ 50 4х1 + 1х2 + 3х3 ≥ 140 1х1 + 4х2 + 1х3 ≥ 127 0х1 + 3х2 + 2х3 ≥ 80 F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min Умножив обе части неравенств на -1, получим систему с другим направлением знака неравенств: -1х1 - 1х2 - 0х3 ≥ -50 -4х1 - 1х2 - 3х3 ≥ -140 -1х1 - 4х2 - 1х3 ≥ -127 0х1 - 3х2 - 2х3 ≥ -80 F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min Преобразуем неравенства в эквивалентные равенства с помощью дополнительных неизвестных. Симплексные уравнения будут следующими: -50 = -1х1 - 1х2 - 0х3 + 1х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 -140 = -4х1 - 1х2 - 3х3 + 0х4 + 1х5 + 0х6 + 0х7 -127 = -1х1 - 4х2 - 1х3 + 0х4 + 0х5 + 1х6 + 0х7 -80 = 0х1 - 3х2 - 2х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 1х7 F = 8х1 + 12х2 + 10х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 = min Записанные уравнения отличаются от тех, которые нами рассматривались выше, тем, что коэффициенты при основных неизвестных и свободные члены имеют отрицательные знаки. Решение таких задач производится двойственным симплексным методом. Система симплексных уравнений записывается в таблице.
В отличие от вычислительной процедуры основного симплексного метода решение задач двойственным методом выполняется в обратном порядке. В итоговом столбце свободные числа имеют отрицательные знаки. Это является свидетельством того, что данный план нельзя считать допустимым, так как он противоречит экономическому смыслу. План можно считать допустимым только тогда, когда в итоговом столбце не будет отрицательных чисел. Ликвидация отрицательных чисел в итоговом столбце начинается с наибольшего по абсолютной величине. В нашем примере таким числом является (-140). Строка х5, в которой находится это число, принимается за ключевую и соответственно выделяется. Определив ключевую строку, находим ключевой столбец. Для этого нужно элементы целевой строки разделить на элементы ключевой строки и из полученных отношений выбрать наименьшее. Столбец, имеющий наименьшее отношение, принимается за ключевой и так же как ключевая строка, выделяется. Столбцы х1, х2, х3 будут иметь следующие отношения: Наименьшее отношение имеет столбец х1, он и будет являться ключевым. Определив ключевую строку, ключевой столбец и ключевое число, по обычным правилам преобразуются все элементы матрицы и записываются в новой таблице. 1-я итерация
2-я итерация
В таблице записаны преобразованные числа, полученные на 3-й итерации. В итоговом столбце все отрицательные числа исчезли, значит полученный план является допустимым и одновременно оптимальным. Вывод о том, что план получен оптимальный, позволяют сделать элементы целевой строки. Все они отрицательны или равны нулю, что свидетельствует об оптимальности результата при решении задач на минимум целевой функции.
1 * 26,3 + 1 * 24,3 + 0 * 3,6 ≥ 50 4 * 26,3 + 1 * 24,3 + 3 * 3,6 ≥ 140 1 * 26,3 + 4 * 24,3 + 1 * 3,6 ≥ 127 0 * 26,3 + 3 * 24,3 + 2 * 3,6 ≥ 80 Стоимость сырья при этом будет минимальной и составит: F = 8 * 26,3 + 12 * 24,3 + 12 * 3,6 = 537,2 ЗАДАЧА 3 Составить оптимальный план перевозок пищевых продуктов от 4-х поставщиков к 6-ти потребителям. Поставщики (П), потребители (М), объемы вывоза и завоза, кратчайшие расстояния между пунктами вывоза и завоз приведены в таблице.
Способ северо-западного угла состоит в том, что распределение объемов вывоза производится, начиная с верхнего левого угла таблицы и кончая нижним углом ее. Результаты распределения показаны в таблице.
Сущность метода потенциалов состоит в том, что для каждой строки и каждого столбца таблицы (матрицы) определяют специальные числа, называемые потенциалами. С помощью этих потенциалов можно установить, нужно ли заполнять свободную клетку матрицы или ее нужно оставить незаполненной. Для решения задач методом потенциалов исходный план должен иметь количество заполненных клеток m + n – 1 (m - число строк, n - число столбцов). Если план не отвечает этим требованиям, то не для всех строк и столбцов можно рассчитать потенциалы, а без них нельзя проверить план на оптимальность. Потенциалы строк и столбцов определяются по заполненным клеткам, находящимся на их пересечении. Элемент заполненной клетки должен равняться сумме потенциалов строки и столбца, на пересечении которых находится эта заполненная клетка. Для начала вычислений первый потенциал для строки или столбца принимается условно равным нулю, все остальные потенциалы определяются с помощью элементов заполненных клеток. Обозначив потенциалы строк ui, потенциалы столбцов Vj, элементы заполнения клеток Из основного требования ui = Из этих выражений видно, что для расчета потенциала строки необходимо иметь заполненную клетку, в столбце которой потенциал уже определен, а для расчета потенциала столбца нужна заполненная клетка, имеющая потенциал в строке. Потенциалы показаны в таблице. После того, как по строкам и столбцам определены потенциалы, с их помощью выясняется, является ли план оптимальным, и если нет, то как его можно улучшить. С этой целью для каждой свободной клетки вычисляется сумма потенциалов строк и столбцов, на пересечении которых находится эта клетка. Сравнение суммы потенциалов с величиной элемента в свободных клетках позволяет определить, нужно ли заполнять эту клетку или ее нужно оставить свободной. При решении задач на минимум функционала (в нашем случае на минимум тонно-километровой работы) не заполняются те свободные клетки, в которых сумма потенциалов меньше величины элемента (в нашем случае - расстояния). Иными словами, если характеристика, значение которой равно разности Свободные клетки, имеющие нулевое значение характеристики, показывают на то, что их заполнение приведет к перераспределению поставок, но объем работ (значение функционала) останется неизменным. Суммы потенциалов, значения элементов и характеристики для незаполненных клеток приведены в таблице.
Так как задача решается на минимум целевой функции, то именно эти отрицательные клетки должны быть заполнены поставщиками. Но заполнение свободной клетки и связанное с ним перераспределение поставок производится не изолированно, а в связи с несколькими заполненными клетками. Эта связь выявляется путем построения замкнутых многоугольников, вершинами которых являются клетки таблицы. Одна вершина многоугольника находится в свободной клетке, а все остальные - в заполненных клетках. Многоугольник, или как его называют цепь, имеет прямые углы и четное число вершин. В результате перераспределения в каждой вершине (клетке) цепи происходит изменение величины поставок: в одних клетках они увеличиваются, в других - уменьшаются. Те клетки цепи, у которых поставки увеличиваются, называются положительными, а те, у которых поставки уменьшаются - отрицательными. Каждая цепь имеет одинаковое число положительных и отрицательных вершин (клеток). Положительные и отрицательные вершины чередуются. Если свободную клетку, в которую предполагается произвести запись, принять как положительную (поскольку изменение произойдет в сторону увеличения), то следующая клетка будет отрицательной, затем опять положительной, снова отрицательной, и т.д. Из свободных клеток для заполнения выбирают обычно клетку, которая имеет наибольшую отрицательную характеристику. В нее записывают самую наименьшую величину из отрицательных вершин цепи. +П4М1 -П1М1 +П1М2 -П2М2 +П2М4 -П3М4 +П3М5 -П4М5
+П3М2 -П1М2 +П1М4 -П2М4 +П2М5 -П3М5
+П4М3 -П2М3 +П2М5 -П4М5
+П2М2 -П2М5 +П3М5 -П3М2
Объем работ составит: 32 * 30 + 112 * 15 + 76 * 9 + 52 * 24 + 20 * 27 + 76 * 21 + 16 * 11 + 80 * 27 + 36 * 8 = 9332 ткм. Похожие работы: Решение задач линейной оптимизации симплекс методом Решение задач линейного программирования симплекс методом Решение задачи линейного программирования симплекс методом Решение прикладных задач методом дихотомии Решение задач методом северо-западного угла рапределительного минимального и максимального Решение задач методом северо западного угла рапределительного минимального и максимального элемента Линейное программирование симплекс методом Данцига Линейное программирование симплекс-методом Данцига Решение задач по теплотехнике |