рефераты, курсовые


Загрузка...

Показательно степенные уравнения и неравенства

Категория: Математика
Тип: Диплом
Размер: 474.3кб.

Загрузка...
белгородский государственный университет
КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии
Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работа студента физико-математического факультета
Научный руководитель:
______________________________
Рецензент : _______________________________
________________________
Белгород. 2006 г.

Содержание.
Введение
3
Тема I.
Анализ литературы по теме исследования.
Тема II.
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
I.1.
Степенная функция и ее свойства.
I.2.
Показательная функция и ее свойства.
Тема III.
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Тема IV.
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Тема V.
Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
V.1.
Обучающий материал.
V.2.
Задачи для самостоятельного решения.
Заключение.
Выводы и предложения.
Список используемой литературы.
Приложения

Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со­стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попы­таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ­ляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи­терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходи­мостью — и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1.                     Проанализировать литературу по данной теме.
2.                     Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3.                     Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4.                     Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1.                     Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2.                     Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3.                     Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства,  используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1. Обучающий материал.
2. Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися  отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен  план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = хn, где n натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При  n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая  пропорциональность. Прямой  пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число   k   называется   коэффициентом   пропорциональ­ности.
Перечислим свойства функции у = kx.
1)  Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2)  y = kx — нечетная    функция    (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).
3)      При   k > 0   функция  возрастает,  а   при   k < 0 убывает на всей числовой   прямой.
Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:
Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.
1)  Область определения функции — вся числовая прямая.
2)  у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).
3)  На промежутке [0;   +   οο) функция возрастает.
В самом  деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4)      На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В  самом   доле,   если  ,то   — х1 > — х2 > 0,   а  потому 
(—х1)2> ( — х2)2, т. е.  , а это и означает убывание функции.
Графиком  функции  y2  является  парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 полу­чаем функцию у = х3, ее свойства:
1)  Область определения функции — вся числовая прямая.
2)  y = х3 — нечетная     функция     (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).
3) Функция   y = x3   возрастает   на   всей   числовой   прямой. График функции y = x3   изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция  у = х2. График такой функ­ции напоминает параболу  у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное чис­ло.  При  n = 1  получаем  у = х-n   или  у =   Свойства  этой функции:
График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.
Пусть n — нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у =  График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у = . Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим не­которые свойства функции  у = х-2, т. е. функции y = .
1)  Функция определена при всех  х 0.
2)  y =  четная функция.
3)  y =  убывает  на  (0; +оо)  и  возрастает  на  (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у =  изображен на рисунке. Ана­логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .
Функции вида , ,  обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показа­телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная несократимая   дробь.   Перечислим   некоторые   свойства   этой функции.
1)  Область определения — луч [0; + оо).
2)  Функция ни четная, ни нечетная.
3)  Функция у = хr возрастает на [0; +оо).

Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и  у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подоб­ный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с отрицательным дробным пока­зателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая   дробь.    Перечислим   свойства   этой   функции.
1)  Область определения — промежуток (0; + оо).
2)  Функция ни четная, ни нечетная.
3)  Функция  у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для  примера  график  функции  у — х  таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
 Подобный вид имеет график любой функции
у = хr, где r — отрицательная дробь.
        Рис. II.6.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель­ной.
1.Функция у = ах при а>1  обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.7.):
а)      область  определения — множество всех  действительных чисел;
б)      множество   значений — множество   всех   положительных чисел;
Рис. II.7.
в)      функция возрастает;
г)       при х = 0 значение функции равно 1;
д)      если x > 0, то аx > 1;
е)       если х < 0, то 0 < ах < 1.
3.      Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.8.):
а)      область определения D(f)=R;
б)      множество значений E(f)=R+;
в)      функция убывает;
г)       при х = 0 значение функции равно 1;
д)      если х > 0, то 0 < ах < 1;
е)       если х < 0, то ах > 1.
Рис. II.8.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так  называются уравнения  вида ,  где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения  будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x)  и
а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и  могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения  рассматриваем случаи:
1.  а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению,  f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
2.  а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
3.  а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
4.  При  и  решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.

Решение
1) x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и  32 > 0, то x1 = 3  - это решение.
2) x – 3 = 1, x2 = 4.
3) x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.
4) x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.

Решение
По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.
1) x – 1 = 0 или  x = 1,  = 0, 00  это не решение.
2) x – 1 = 1         x 1 = 2.
3) x – 1 = -1         x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
4)  =
               
      
      
      
       Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.

Решение
1)  =  0  решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2)  ≠  0  т.е. . Тогда можем записать:
   
3)  =  1.     =  0   
     и
4)  =  -1  х = 0 или х = 1. При х = 0    =  -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение.  При х = 1   (-1)0 = (-1)0. Это  решение х3 = 1. 
5)  ≠  0 и  ≠  ±1    имеем  =  0,    =  -1    или
     =  1. Эти корни уже учтены.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.
 
Решение
1)      При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
     при ,
2)      , .
3)      , .
     , (-1)0 = (-1)0 это решение.
     .
           4)  и
              
                    или
               При  (-4)0 = 1 – верно.
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.

Решение
1) , ,  это не решение.
2) ,  и .
3) отрицательных значений основание не имеет. При  и , ,      ,
х = 5,    315 = 315 – верно. х3 = 5,
х = 2 – не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6

Решение
1)  не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2) .  или .
3) отрицательных значений  не имеет.
4) При ,
    , т.к. , то . Проверка 20 = 1 – верно.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7

Решение
1) , , , . Это решение .
2) , .
3) , ,  - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.
4)  и , , , ,  4-3 = 4-3 – верно. .
Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8

Решение
ОДЗ: ,
, ,
 и

Все решения принадлежат уравнению =2.
,  и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ: -4, -1.
Пример №9

Решение
ОДЗ: , .
1)  решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При ,  или ,
                          ОДЗ, ОДЗ.
Значит все решения содержатся в уровнении = 0,  или .
Проверка: , 20 = 1 – верно.
                  ,  - верно.
Ответ: 0, 3/2.
Пример №10

Решение
1)  решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) При , , . Все решения принадлежат уравнению .  или .
3) ,  и .
Второе решение не подходит, т.к , . А  является решением
Ответ: , 2, 4.
Пример №11

Решение
1) ,    и  это решение .
2) ,   .
3)  - четное,  - нечетное. Это является решением.
4)  или , , , , .
Проверка: ,  - верно.
Но  не является корнем!
Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство =  только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.
Ответ: -4, -2, -1.
Пример №12

Решение
ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.
 и все решения содержатся в уравнении.

,    ,  
Ответ: 5.
Пример №13

Решение

1) , . Это решение .
2) ,   , .
3) отрицательных значений  не имеет.
При  или  все решения в уравнении ,  и .
При ,  - верно. .
Ответ: -1, 2, 3, 4.
Пример №14

Решение
ОДЗ:
1)                При  решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При

2) , и . - решение, а .
3)  для всех . При  и  все решения содержатся в уравнении ,  или . При  , .
При ,  - верно. .
Ответ:  4, 5.
Пример №15.
,
Решение
 
используя свойства логарифма  и получили:
=
В первой части уравнения выполнили преобразования
. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.
 или .
Ответ: 2.
Пример №16

Решение
ОДЗ:
Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения
.
, , где
1) ,  - верно.
2) ,
Пасть , тогда

,  или .
Следовательно;  или , , .
Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.
Пример №17

Решение
ОДЗ:  и
Выполним преобразования.
+ =  2+2
+ =  4
Пусть , а ,
Следовательно,  или
,                    
2*2t = 4                       
2t = 4/2                        
2t = 2
t = 1
Ответ: 2.
Пример №18

Решение
ОДЗ:
;
Прологарифмируем обе части равенства:

, где .
Умножим обе части уравнения на 2.

Пусть , тогда 


,  или
1) ,
 или
      
Ответ: 0.1, 10.
Пример №19

Решение
ОДЗ:
Обратите внимание  ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!

,
                             или
Оба значения в ОДЗ.
Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.
,  - верно.
,  - верно.
Ответ: -3, 3.
Пример №20

ОДЗ:
Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)
 или
Прологарифмируем по основанию 10.

 или
1)  или
    ,       
Ответ: 0.01,  100.
Пример №21

Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем по основанию 10.
, где .

Пусть , тогда:
 умножим на 4

,

,  или
1)

2)

Ответ:  0,0001, 10.
Пример №22

Решение
ОДЗ:


Заменим: , получим:
, где .
Решаем уравнение:

;  или
1) ; ; . .
2) , , , , .
    ; ; ; .
Ответ: 0,1, 1, 10.
Пример №23


Решение
 и
      \ :

Подставим во второе уравнение вместо  число 5, получим:

 или
составляем систему уравнений:

                                       
                                          
                                        

Ответ: (13;8)
Пример №24

Решение
ОДЗ:
;
,

;            или
, .
Ответ: 5.
Пример №25

Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:
Получим:
 или
Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:
.
Решая его относительно , находим , .
Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:
. Значит, , т.е. .
Ответ: 30, 100.
Пример №26

Решение
Так как , то при  и  имеем равносильное уравнение:
 или
.
,
Ответ: 5.
Пример № 27

Решение
ОДЗ:
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:


,

;  или
1)                                     2)
                                    
Ответ: 0.1, 100.
Пример №28

Решение
ОДЗ:
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:


 и , поэтому



Пусть , тогда
 или .
1)
    ;
2)
   
Ответ: , 3.
Пример №29

Решение
1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) = 1, =1,  ,  или
                    =-1,  , .
Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.
3)  (т.к. )
При  все решения принадлежат уравнению .  или .
При    = 0, что не удовлетворяет уравнению
,
Ответ: , .
            , .
            , .
Пример №30

Решение
ОДЗ:
=
1) , , .
2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда  или .    ,  и    , .
Ответ:   , - ,  и , .
Пример №31

Решение

1)   или  и . Это решение. .
2) ,  и
3) Так как , то ;
    ;
   
   
   
    ;   . Это решение.
Ответ: ; 5; 3; 4.
Пример №32

Решение
 при всех


1) ,  - решений нет.
2) . Потому при  левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.
3) ;
    ;
    ;
     ;
    ;
    ;
    ;
     и ;
    ;            ;
    ;                     ;
    ;
    ;
     - решений нет.
Ответ: -3, 3.
Пример №33
Решить графически уравнение:

Решение
У функции                    Д(y):  x > 0 и log2 x > 0, т.е.,
                                                                     x > 1. обл. определения х > 1.
А теперь:  (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).
Тогда   (определение логарифма: ).
Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.

Построим график функции (рис III.1).

                      у
                                                                                            
                                                                                                             
                     2
                     1

                     0             1             4                                                               х
Рис. III.1.
Ответ: (4; 2).
Пример №34
Решить систему уравнений:
 
Решение:

По определению логарифма имеем:
                .
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.
         .
Из второго уравнения системы выразим у через х:
,
Тогда:
Пусть , Д = (-5)2 -4*1*4 = 9, ,  или .
1)                                             2)
                                                          
                                                 
Д = (-3)2 – 4*1*(-4) = 25                               пусть , тогда
                                                            
  или                                           Д = (-1)2 – 4*3*4 = -47<0
 или                                  корней нет
(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ
(4,4) решение системы уравнений.
Ответ: (4, 4).
Пример №35
Решите систему уравнений:

Решение.

По определению логарифма имеем:
       
Основание логарифма может быть:
1)  (дробное)
   
    (-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.
2)
   
Выполним преобразования:

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:
,
, ,

 или
Пусть ,  тогда
Д = (-)2 -4*1*(-2) = 9
 или

: (х+1)

, где
;
1)
 или 

Решаем биквадратное уравнение
Примем , тогда получим 
D = 32 – 4*1*(-4) = 25
 или
а)
б)  (не удовлетворяет ОДЗ)


 - решение системы уравнений.
2)



 или
  - (не удовлетворяет ОДЗ)
D = (-1)2 -4*4*3 = -47 – корней нет.
Ответ: .  [ ]
Пример № 36

Решение
Для любого х  и  ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х  из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
                          и                  
Решаем ее.
                                                    
                                          
                                            
 принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.
Ответ:  .

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Неравенства вида  (или меньше) при а(х)>0 и  решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.
Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию
Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.
Пример   1.
 Решить неравенство:
 23x:+7 < 22x-1.
Решение.
Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х -  1.   Решив   это   неравенство,   получим   х < - 8.
Ответ: -8.
Пример   2.
Решить неравенство:

Решение.
Так как 625 = 252= , то за­данное неравенство можно записать в виде  
Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х2 - 8 =  -2. Имеем последовательно
,
,
,
.
Решив последнее неравенство, полу­чим 2  х 3.
Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].
Ответ: [2; 3].
Пример   3.
Решим неравенство
0,57-Зх < 4.
Решение
Пользуясь тем, что 0,5 -2 = 4, перепишем заданное нера­венство в виде
0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не­равенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.
Ответ:  ( — оо ; 3).
Пример 4. 
Решим неравенство

Показательная функция y = 6x возрастает. Поэтому дан­ное неравенство равносильно неравенству х2 + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо;  -3)
и (1;   оо).
Ответ: (-оо; -3) и (1;   оо).
Пример 5.   
Решим    неравенство:

Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно,   решением   данного неравенства   являются   числа   х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа.  Но  , , а функция   убывает,
поскольку   < 1. Поэтому решением неравенств  будут числа х,  удовлетворяющие неравенствам   - 2 < х < 1.
Ответ: ( - 2;  1).
Пример 6.

Решение
1)        

   

                            2         3                10
Изобразим на числовом луче
Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при  взятое не выполняется. Решений нет.
2)    
Изобразим на числовом луче


                                              10
Если , то
 -решение системы неравенств.
Остальные случаи не дают решений, т.к.  или 1 не удовлетворяют условию, а при  т.е.  получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.
Ответ:
Пример 7

Решение
При , х = 2,5 или х = -1
При  или  можно записать .
   
При  второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

                   -1                     2,5                                  3
Система не имеет решений.
2)    
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств


 решение системы неравенств.
3) ,  - выражение  имеет смысл тогда, когда х – 3 – целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х – целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.
Проверка:
При - верно.
При  - верно.
При  - верно.
4) , х2 = 2,5 и х1 = -1
При х = -1 – не имеет смысла выражение 0-4.
При х = 2,5, 02,5 – не имеет смысла.
5)
;  
При ;  - верно.
При ;  - верно.
Ответ:  или .

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками
по данной теме.
Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.
Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой
 
Задачи для самостоятельного решения.
Решить уравнения.
1.                                         Ответ: .
2.                                   Ответ: 2.
3.                                       Ответ: 7; 14.
4.                            Ответ: .
5. Найдите произведение корней уравнения
                           Ответ: .
6.                                      Ответ: .
7.                         Ответ: .
8.                                      Ответ: .
9.          Ответ:
10.                                          Ответ: .
11.                              Ответ: 2; 3; 4; 11.
12.                         Ответ: .
13.                       Ответ: .
14.                                            Ответ:  -2; 0; 2.
15.                                      Ответ:  1; 4; 5.
16.                                              Ответ:  нет решений.
17.                                 Ответ:  1; 10; 10-3.
18.                                      Ответ: 1; 8.
19.                                            Ответ: -1; 1; 2.
20.                                 Ответ:  .
21.                            Ответ:  2; 10-1; 10-3.
22.                            Ответ:  0; 3.
23.                          Ответ:  0.
24.                          Ответ:  .
25.                                           Ответ:  .
26.                                
 Ответ:  .
27.                             Ответ:  .
28.                        
 Ответ:  .
29.          Ответ:  .
30.                        Ответ:  .
31.             
                                  Ответ:  .
32.                  
  Ответ:  .
33.                          
 Ответ:  .
34.            Ответ:  0; 1.
35.                                                             Ответ:  1; 3.
36.                                                             Ответ:  0; 1; 5.
37.                                                           Ответ:  0; 5; 4.
38.    
Ответ:  .
39.                    Ответ:  .
40.              Ответ:  .
41.                           Ответ:  .
42.                    Ответ:  .
43.                          Ответ:  1; 0,1; 0,01.
44.
45.              Ответ:  -2; -1; 3.
46.              Ответ:  -2; 0,6.
47.              Ответ:  .
48.                 Ответ:  -4; -3,5; -2; -1.
49.                        Ответ:  -0,2; 0,5; 1; 3.
50.                  Ответ:  -2; 0,6.
Решить системы уравнений
1.                                   Ответ:  .
2.                           Ответ:  (5;-1).
3.                                 Ответ:  .
4.                           Ответ:  .
5.                           Ответ:  .
6.               Ответ:  .
7.          Ответ:  .
8.                          Ответ:  .
9.               Ответ:  .
10.                             Ответ:  .
11.                  
 Ответ:  .
12.                          Ответ:  .
13.          
Ответ:  .
14.
15.
16.
17.          
 Ответ:  .
18.                     
 Ответ:  .
19.   
Ответ:  .
20.                Ответ:  .
21.               Ответ:  .
22.                  Ответ:  .
23.        Ответ:  .
Решить неравенства.
1.                          
                                      Ответ:  если , то если  то .
2.    Ответ:  .
3.                   Ответ:  .
4.                             Ответ:  .
5.                            Ответ:  .
6.                        Ответ:  .
7.              Ответ:  .
8.      Ответ:  .
9.                      Ответ:  .
10.               Ответ:  .
11.              Ответ:  .
12.       Ответ:  .
13.       Ответ:  .
14.       Ответ:  .
15.        Ответ:  .
16.    Ответ:  .
17.       Ответ:  .
18.                 Ответ:  .
19.                 Ответ:  .
20.                    Ответ:  .
21.                  Ответ:  .

Заключение.
Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:
1.                       Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.
2.                       Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.
3.                       Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.
Мое предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.
Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.

Список используемой литературы.
1.                Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени  и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.
2.                Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.
3.                Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 1997.
4.                Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.
5.                Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 1999.
6.                Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. – Томск,из-во Томского университета, 1973.
7.                Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.
8.                Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
9.                Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.
10.           Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.
11.           Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.
12.           Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.
13.           Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2003.
14.           Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.
15.           Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2001.
16.           Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.
17.           Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.
18.           Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.
19.           Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.
20.           Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.
21.           Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.
22.           Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.
23.           Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
24.           Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.
25.           Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.

Похожие работы:
Показательно-степенные уравнения и неравенства
Иррациональные уравнения и неравенства
Рациональные уравнения и неравенства
Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
Степенные ряды
Неравенства
Философия неравенства НА Бердяева
Философия неравенства Н А Бердяева

© Права на базу данных защищены
При копировании материала укажите ссылку