рефераты, курсовые


Загрузка...

Иррациональные уравнения и неравенства

Категория: Математика
Тип: Реферат
Размер: 76.1кб.

Загрузка...

                            МОУ СОШ  «УК №20»



         Иррациональные


 уравнения   и  неравенства
      

                                          реферат    по    алгебре

                                                           ученика  11 «В» класса

                                                            Торосяна   Левона

       
                                                  Руководитель:

                                                      Олейникова Р. М.
                               Сочи  2002г.
                                       

                                   Содержание.
I.                 Введение
II.             Основные правила
III.         Иррациональные  уравнения:

·       Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

·       Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

·       Решение сложных иррациональных уравнений.

   

IV.         Иррациональные неравенства:

·       Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

·       Решение нестандартных иррациональных неравенств.

·       Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

   

V.             Вывод
VI.         Список литературы
I
.
Введение
Я, Торосян Левон, ученик  11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение  иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.

Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.

В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях. 



II
. Иррациональные  уравнения


Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения  стандартного вида  можно решить пользуясь следующим правилом:

                                               

                                                          

                                                    
    Решение иррациональных уравнений стандартного вида:




а) Решить уравнение   = x – 2,

Решение.

 = x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4,                                                                        Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0,                                                                       х = 5,       = 5 – 2,

x1 = 5,                                                                                                               3 = 3

x2 = 1 – постор. корень                                                         х =  1,      1 – 2 ,

Ответ: 5                                                                         пост. к.            1 -1.  
б) Решить уравнение   = х + 4,

Решение.

 = х + 4,









Ответ: -1
в) Решить уравнение  х – 1 =

Решение.

 х – 1 =

х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,

х3 – 4х2 + 4х = 0,

х(х2 – 4х + 4) = 0,

х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,

                                         (х – 2)2 = 0,

                                          х = 2

Ответ: 0; 2.    
г) Решить уравнение  х –  + 4 = 0,

Решение.

х –  + 4 = 0,

х + 4 = ,                                                         Проверка:

х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                          х = 11,            11 –  + 4 = 0,

х2 – 17х + 66 = 0,                                                                                       0 = 0

х1 = 11,                                                                     х = 6,               6 –  + 4 = 0, 

х2 = 6.                                                                                                          0 = 0.

Ответ: 6; 11.
            Решение  иррациональных уравнений смешанного вида:
·       Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение  =

Решение.

 = ,                                                               +        

                                                                                                            x       
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
           или                                                                                                                

                                                                                  

                             
                     


                                                                                                                                              

Ответ:
б) Решить уравнение 

Решение.

,                                                                        +

                                                                                                                             x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
            или                    

                          

                                            

                                                                 

                                            

Ответ:   .
·        Иррациональные  показательные  уравнения:
а) Решить уравнение 
Решение.
             ОДЗ: 



Пусть   = t,   t  > 0



Сделаем  обратную  замену:

 = 1/49,                             или                  = 7,

 = ,                                                       

– (ур-ние не имеет решений)              x = 3.

Ответ: 3 
б) Решить уравнение   
Решение.
Приведем  все степени к одному основанию  2:



данное уравнение равносильно уравнению:



Ответ:  0,7
·       Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x                                      Проверка:

x                      x = 3,     

4x                                                                           1 = 1.

                                    x = 1,75  
Ответ: 3.
·        Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить  уравнение 

Решение.

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб



 но  , значит:



 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

(25 + x)(3 – x) = 27,



Ответ: –24; 2.
·       Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение 
Решение.



Пусть  = t,   тогда  = ,   где   t > 0

t –



Сделаем обратную замену:

= 2, возведем  обе  части  в  квадрат

                        Проверка:  x = 2,5      

Ответ:  2,5.
б) Решить  уравнение 

Решение.



Пусть  = t,   значит = ,   где  t > 0

t+ t – 6 = 0,



Сделаем обратную замену:

 = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16,                                                    Проверка:

x = 8,                                                             x = 2,       

x = 2.                                                                                           6 = 6

Ответ:  2.
в) Решить  уравнение   

Решение.





Пусть   = t,   где   t  > 0



Сделаем обратную замену:

 = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат

                          Проверка:           

                                                               ,         

                      

Ответ: –5; 2.
             Решение сложных

 иррациональных уравнений:

·       Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:

Решить уравнение 

Решение.

  возведем  обе  части уравнения в  куб



 возведем обе  части  уравнения в  квадрат



Пусть   = t

t 2

11t
+
10 = 0,


 

Сделаем  обратную  замену:                                             Проверка:

*= 10,                          или          = 1,                     x = ,              

x = -пост. корень                                                                          0  

Ответ:   1.                                                                  x = 1,       

                                                                                                                                1 = 1

·       Иррациональные  логарифмические уравнения:

а) Решить  уравнение  lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,

lg(3 = lg,

Учитывая  ОДЗ, данное  уравнение  равносильно  системе:









Ответ: 32,75
б) Решить  уравнение   

Решение.





 

                               

Ответ:  ; – 2; 3.

 
IV
. Иррациональные неравенства


Неравенства   называются   иррациональными, если  его  неизвестное  входит  под  знак  корня (радикала).

Иррациональное  неравенство  вида  равносильно системе неравенств:



Иррациональное  неравенство  вида  равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

          и          
 Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить  неравенство

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


                        

                                                                                  +                                     +     

 

Ответ:     [1; 2).                                                                                                    1                3                        x

б) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство  равносильно двум системам  неравенств:
                                         



Ответ:        
в) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:
              

                                                                   
Ответ:  нет решений     
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


Ответ:  
б) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:







                                          



Ответ:     
·        Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при  умножении и делении:
а) Решить неравенство

Решение.



Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:
                                       



Ответ:
б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)
Учитывая то, что   и правило знаков при делении данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:
                                                      


Ответ: 
· Решение иррациональных неравенств способом группировки:

Решить неравенство 

Решение.
,

 сгруппируем  по  два  слагаемых

 

 

 вынесем общий множитель за скобку

 учитывая, что  > 0 и правило знаков при                           умножении  данное неравенство равносильно  системе  неравенств:
                                                       
Ответ:  ( 0; 1 )
·    Иррациональное   неравенство,   содержащее   два   знака иррациональности:
Решить  неравенство

Решение.


Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


                                                              



Ответ:
· Решение иррациональных неравенств заменой:

Решить  неравенство

Решение.


Пусть  = t, тогда   = ,     t  > 0








           
Сделаем  обратную  замену:

возведем в  квадрат  обе  части  неравенства







Ответ:
        Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
·        Иррациональные  показательные  неравенства:

а) Решить  неравенство

Решение.

,

 т.к.  y = 0,8t  ,  то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,

x2 – 3x – 4 < 0,

f(x) = x2 – 3x – 4,

ОДЗ,                                                          +                                   +

Нули функции:  x1 = 4;   x2 = – 1.                                      –1                   4               x
Ответ: х
б) Решить  неравенство  4– 2 < 2– 32

Решение.     

4– 2 < 2– 32,                            ОДЗ:  x
> 0


2– 2 2 < 2 24 – 25, выполним  группировку слагаемых

2(2– 2) – 24(2–2) < 0,

(2– 2)  (2– 24) < 0, учитывая  правило  знаков   и  ОДЗ  данное  неравенство равносильно 2-м системам:
                        или                                 

 

т.к. y = 2t , то                                       т.к. y = 2t , то

                                                              
                                                                        

                         

Ответ: х
· Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить  неравенство  

Решение.

 уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств







                                            
Ответ:  




V
.

Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения  и  неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие  знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.   

Примеры  взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ  и  абитуриентам  технических  вузов.
                                        
VI.
Список  литературы

1)   Алгебра  и  начала   анализа.   Под  редакцией                        А.Н. Колмогорова

2)   3000 конкурсных задач по математике. Авторы:             Е.Д. Куланин,  В.П. Норин

3)   Справочные материалы по математике. Авторы:                   В.А. Гусев,  А.Г. Мордкович

4)   Сборник задач по математике. Под  редакцией              М.И. Сканави

5)   Справочный  материал


Похожие работы:
Иррациональные уравнения
Рациональные уравнения и неравенства
Показательно степенные уравнения и неравенства
Показательно-степенные уравнения и неравенства
Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
Неравенства
Философия неравенства НА Бердяева
Философия неравенства Н А Бердяева

© Права на базу данных защищены
При копировании материала укажите ссылку