рефераты, курсовые

Опубликовать

Продать работу

Загрузка...

функция

Категория: Математика
Тип: Реферат
Размер: 110кб.
скачать
Загрузка...
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА
Реферат
Тема: «Функция»
                              Выполнил: Ярмонтович Д.А.
                                           Проверила:
УССУРИЙСК 2006

СОДЕРЖАНИЕ
·                   1)Введние
·                   2)Линейная функция
·                   3)Квадратичная функция
·                   4)Степенная функция
·                   5)Показательная функция (экспонента)
·                   6)Логарифмическая функция
·                   7)Тригонометрическая функция
·                   -Функция синус
·                  

-Функция косинус
·                   -Функция тангенс
·                   -Функция котангенс
·                   8)Обратная функция
·                   -Arcsin x
·                   -Arctg x
·                   9)Список Литературы

введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х - независимая переменная или аргумент.
Переменная у - зависимая переменная
Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f1)<f2)
Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f1)>f2)

Линейная функция.
 Это функция вида $ f(x)=kx+b;\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Число $ k$называется угловым коэффициентом, а число $ b$ - свободным членом. Графиком $ {\Gamma}_f$линейной функции служит прямая на координатной плоскости $ xOy$, не параллельная оси $ Oy$.
Угловой коэффициент $ k$равен тангенсу угла $ {\alpha}$наклона графика $ {\Gamma}_f$к горизонтальному направлению - положительному направлению оси $ Ox$.

График линейной функции - прямая
1.                Область определения – все действительные числа.
2.                Область значений – все действительные числа.
3.                Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4.                Линейная функция ни четная ни нечетная.
5.                Функция возрастает если k>0,
Функция убывает если k<0.
6.                Функция непрерывна.

Квадратичная функция.
 Это функция вида $ f(x)=ax^2+bx+c; \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$,
Графиком $ {\Gamma}_f$квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси $ Oy$. При $ b=c=0$вершина параболы оказывается в точке $ O(0;0)$.

Парабола $ y=ax^2$( $ a>0$)
В общем случае вершина лежит в точке $ M_0(x_0;y_0);x_0=-\frac{b}{2a};y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}$. Если $ a>0$, то "рога" параболы направлены вверх, если $ a<0$, то вниз.

.Парабола с вершиной в точке $ M_0$( $ a>0$)
1.                Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2.                При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.
f(x) = x2
f(x) = (x+1/2)2
y
0
x
y
Подпись: f(x) = x2


3.               
x
0
-1/2
Подпись: -1/2

         Рис. 4                                                   Рис. 5
4.                Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5.                Функция имеет единственную критическую точку
6.                x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.
a.                  Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
b.                 Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.
7.                Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b2-4ac)/4a)].
8.                График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.
a.                  Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).
b.                 График функции
9.                f(x)=ax2+bx+c
10.           (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:
а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).
Степенная функция.
 Это функция вида $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Рассматриваются такие случаи:
а). Если $ {\alpha}\in\mathbb{N}$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$; если число $ {\alpha}$ - чётное, то и функция $ f$ - чётная (то есть $ f(-x)=f(x)$при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$); если число $ {\alpha}$ - нечётное, то и функция $ f$- нечётная (то есть $ f(-x)=-f(x)$при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$).

График степенной функции при $ {\alpha}=1,2,3,4$
б) Если $ {\alpha}\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}\leqslant 0$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для $ {\alpha}>0$: если $ {\alpha}$ - чётное число, то и $ f(x)=\dfrac{1}{x^{-{\alpha}}}$- чётная функция; если $ {\alpha}$ - нечётное число, то и $ f(x)$ - нечётная функция.

График степенной функции при $ {\alpha}=0,-1,-2,-3$
Снова заметим, что $ f(1)=1$при всех $ {\alpha}$. Если $ {\alpha}=0$, то $ {f(x)=x^0=1}$при всех $ x$, кроме $ x=0$(выражение $ 0^0$не имеет смысла).
в). Если $ {\alpha}$ - не целое число, то, по определению, при $ {\alpha}>0$: $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\geqslant 0\}$; тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$.

График степенной функции при $ {\alpha}>0$
При $ {\alpha}<0$, по определению, $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$; тогда $ f(1)=1$.

График степенной функции при $ {\alpha}<0$
1.                Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2.                Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3.                Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4.                Степенная функция непрерывна во всей области определения.
5.                Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(xa)¢= a.xa-1.
Степенная функция xa  монотонно возрастает во всей области определения при a<0.
6.                 
1
y = x 5/2
1
y
Подпись: 1

                                                    
y = x1/2
y

  0          1                    x                    0           1                    x                                
7.                При  a<0 и a>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1 – вогнутостью вниз.

Показательная функция (экспонента).
Это функция вида $ f(x)=a^x$( $ a>0$, $ a\ne1$). Для неё $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, $ f(0)=1$, $ f(1)=a$, и при $ a>1$график имеет такой вид:

.График показательной функции при $ a>1$
При $ a<1$вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при $ a<1$
1.                Число $ a$ называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2.                Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3.                Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(ax)¢ =axlna
4.                При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5.                Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6.                График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.
7.                График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическая функция.
 Это функция вида $ f(x)=\log_ax$( $ a>0$, $ a\ne1$). Для неё $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$, $ f(1)=0$, $ f(a)=1$, и при $ a>1$график имеет такой вид:

График логарифмической функции при $ a>1$
При $ a<1$график получается такой:

График логарифмической функции при $ a<1$
1.                Число $ a$называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
2.                Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
3.                Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
(loga x)¢ = 1/(x ln a).
4.                Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5.                При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства
loga 1 = 0, loga a =1.
6.                При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

тригонометрические функции
Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a.
Функция синус
.
  $ f(x)=\sin x$. Для неё $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; функция периодична с периодом $ 2\pi$и нечётна. Её график таков:

График функции $ \sin x$

                          
Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.
1.  Область определения – множество всех действительных чисел.
2.  Область значения – промежуток [-1; 1].
3.  Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4.  Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
       sin (х+2p)= sin х.
5.  Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z.
6.  Промежутки знакопостоянства:
    sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,
    sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn),  n Î Z.
7.  Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х)¢ =cos x.
8.  Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,
      и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z.
9.  Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.

Функция косинус.
  $ f(x)=\cos x$. Эта функция связана с синусом формулой приведения: $ \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; период функции $ \cos$равен $ 2\pi$; функция $ \cos$чётна. Её график таков:

1.График функции $ \cos x$ Область определения – множество всех действительных чисел.
2.Область значения – промежуток [-1; 1].
3.Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.
4.Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
       cos (х+2p)= cos х.
5.Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z.
6.Промежутки знакопостоянства:
    cos х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn)), n Î Z,
    cos х<0 при x Î ((p/2)+2pn); ((3p)/2)+ 2pn)),  n Î Z.
7.Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х)¢ =-sin x.
8.Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn), n Î Z,
      и убывает при xÎ (2pn;  p+ 2pn), n Î Z.
 Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные
Функция тангенс.
  $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$(в англоязычной литературе обозначается также $ \tan x$). По определению, $ \mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$. Функция $ \mathop{\rm tg}\nolimits $нечётна и периодична с периодом $ \pi$;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi),$
то есть $ x$не может принимать значений $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, при которых $ \cos x$(стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

1.График функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits x$ Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn, n Î Z.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4.Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
tg (х+p)= tg х.
5.Нули функции: tg х=0 при x=pn, n Î Z.
6.Промежутки знакопостоянства:
    tg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,
    tg х<0 при x Î ((-p/2)+pn; pn),  n Î Z.
7.Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(tg х)¢ =1/cos2 x.
8.Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn), n Î Z,
Функция котангенс.
  $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$(в англоязычной литературе также $ \cot x$). По определению, $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. Если $ x\ne\dfrac{k\pi}{2}$( $ k\in\mathbb{Z}$), то $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}$. Функция $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $нечётна и периодична с периодом $ \pi$;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi;(k+1)\pi),$
то есть $ x$не может принимать значения вида $ x=k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, при которых $ \sin x$обращается в 0.

1.График функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x$ Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функция сtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
4.Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
сtg (х+p)= ctg х.
5.Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n Î Z.
6.Промежутки знакопостоянства:
    ctg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,
    ctg х<0 при x Î ((p/2)+pn; p(n+1)),  n Î Z.
7.Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(ctg х)¢ =-(1/sin2 x).
8.Функция ctg х убывает в каждом из промежутков   (pn; p(n+1)), n Î Z.
Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.
Arcsin x :
1.            Область определения – [-1; 1].
2.            Область значений – [-П\2; п\2].
3.            Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)

Графики главной ветви $ \sin$и $ \arcsin$
Arctg x :
1.                     Область определений – R.
2.                     Область значений - интервал  (-П\2; П\2).
3.                     Монотонно возрастающая функция.
4.                     прямые у=-П\2 и у=П\2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13)

Графики главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $

Список использованной литературы
1.                Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
2.                А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М.,     1991 г.

Похожие работы:
Функция культуры
Функция Дирака
Функция принадлежности
Функция государства
Деньги и их функция
Деньги и их функция 2
Почки и их функция
Управление как функция
Уравнение и функция Бесселя

Рейтинг@Mail.ru
© Права на базу данных защищены
При копировании материала укажите ссылку