рефераты, курсовые

Опубликовать


Загрузка...

Математика

Категория: Математика
Тип: Контрольная работа
Размер: 327.7кб.
скачать
Загрузка...
Канашский филиал
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
По математике
Вариант  3
Студента 1  курса   экономического  факультета
Шифр:    04653033            Учебная группа:  53-06
Работа  выслана  в  Чувашский  госуниверситет
 «____» ____________2006 г.
Передана на кафедру «Экономики и управления»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич                             
Возвращена в деканат______________________

Математика
Вариант 3
Даны вершины А(х11) ,В(х22), С(х33) треугольника. Требуется найти:    1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла  ;
7)угол  в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.
       вариант  3:              А(5;-1),   В(1;-4),    С(-4;8).
Решение:
         1)Длина стороны ВС:
      ;
        2)Длина стороны АВ:
      ;
          Скалярное произведение векторов и

Угол  :
cos =  ; =arcos 0,2462=75,75 ;
          3) Уравнение стороны ВС:

;     ;    ;
        4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:
   ;    ;
         Условие перпендикулярности двух прямых:
  ;   ;
  ;    ;   ;   ;
          5) Длина высоты, проведенной из вершины А:
  
         6)  
  



           Уравнение прямой АС:


           
          Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

 
       7) Угол  в радианах с точностью до 0,01:

      8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

      Уравнение стороны АВ:

        Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
X
Y
A (5;-1)
B (1;-4)
                C (-4;8)

Задание 13.
     Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).
Решение:
     Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

    По условию задачи

    Искомые прямые:

Задание 23.
    Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.
Решение:

     По условию задачи:  

       -   уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями    

   SHAPE  \* MERGEFORMAT
A(x;y)
F(8;0)
X
Y
4            6                  8
2
-2
-4
-6

Задание 33.
Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой   с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.
Решение.
Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

                Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид  учитывая что  найдем параметр  p

      Таким образом, уравнение параболы
      Уравнение директрисы параболы: 
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
1        3         5         7          9
 8
 5
    2         4         6          8         10
Y
X
M
Y=2x
X=-4
-4
Подпись: X=-4
Задание 43.
Дано уравнение параболы  f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение параболы приняло вид  X2=aY или Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
O1
   O
y       Y
x
X

Задание 53
Даны вершины А11;Y1;Z1),. А22;Y2;Z2), А33;Y3;Z3), А44;Y4;Z4)
пирамиды. Требуется найти:   1) длину ребра А1А2;    2)Угол между ребрами А1А2 и  А1А4;    3)угол между ребром А1А2 и гранью А1А2 А3;     4) площадь грани А1А2 А3;    5) объем пирамиды;    6)  уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3;    7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3, и вершину А1 пирамиды.
       A1 (3;5;4), А2(5;8;3),  А3(1;9;9), A4(6;4;8);
Решение:
         1) 


Длина ребра А1А2;

         2)


Длина ребра А1А4;

        Скалярное произведение векторов А1А2 и  А1А4:

      Угол между ребрами А1А2 и  А1А4:

         3) Уравнение грани А1А2 А3:


        Угол между ребром А1А2 и гранью А1А2 А3:

        4)Площадь грани А1А2А3
  кв. ед.
 
        5) Объем пирамиды:
  куб. ед.
     6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3:

      7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3, и вершину А1 пирамиды.

Задание 63.
         Определить вид поверхности, заданной уравнением   f(x;y;z)=0,  и показать её расположение относительно системы координат.
       
Решение:

      Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси   по оси  
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
2
Y
Z
X
0
1

Задание 73.
Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:
2
-9
-4
-3
3
-83
= >
= >
0
-47
-28
-13
7
-459
2
-7
-2
-1
-4
-57
0
-45
-26
-11
0
-433
7
-6
2
-2
0
-35
0
-139
-82
-37
-14
-1351
1
19
12
5
-2
188
1
19
12
5
-2
188
0
-47/7
-4
-13/7
1
-459/7
0
68/77
30/77
0
1
980/77
0
-45
-26
-11
0
-433
0
45/11
26/11
1
0
433/11
0
-233
-138
-63
0
-2269
0
272/11
120/11
0
0
2320/11
1
39/7
4
3/7
0
398/7
1
94/77
-190/77
0
0
481/77
 
0
0
0
0
1
-2900/77
 
0
-19/15
0
1
0
-2583/11
 
0
13,6
1
0
0
116
 
1
1574/231
0
0
0
22521/77
 
      Общее решение системы:

Задание 83.
       Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение:
       Составим определитель из координат векторов     и вычислим его:

        Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора  в этом базисе:


2
-10
0
-4
-42
= >
0
-20
4
-4
-88
= >
0
48
-12
252
4
-9
10
3
-43
0
-29
18
3
-135
0
-80
30
-350
2
-7
0
-1
-39
0
-17
4
-1
-85
0
17
-4
85
1
5
-2
0
23
1
5
-2
0
23
1
5
-2
23
0
-4
1
0
-21
      = >
0
0
1
0
3
0
40
0
0
240
0
1
0
0
6
0
1
0
1
1
0
0
0
1
-5
1
-3
0
0
-19
1
0
0
0
-1
         Итак
       Проверка:
2(-1)-10*6         -4(-5)=-42;   -42=-42;
4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43;   -43=-43;
2(-1)-7*6-           -(-5)=-39;    -39=-39;
-1+5*6-2*3                =23;       23=23.
 или
Задание 93.
        Дана матрица А .  Требуется найти:  1) матрицу, обратную матрице А;
2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.
 
       
Решение:
-1
-2
12
1
0
0
1
2
-12
-1
0
0
0
4
3
0
1
0
0
4
3
0
1
0
0
5
6
0
0
1
0
5
6
0
0
1
1
0
-13,5
-1
-0,5
0
1
0
0
-1
-8
6
0
1
0,75
0
0,25
0
0
1
0
0
6/9
-3/9
0
0
2,29
0
-1,25
1
0
0
1
0
-5/9
4/9
       Обратная матрица:

      Корни характеристического уравнения:

- собственные значения матрицы А .
       При

     Собственный вектор:

Задание 103.
        Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.
      
Решение:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
   -2П        -3/2П      -П          -П/2                      П/2          П         3/2П       2П
Y=-6/5sin(2/3x+1)
-6/5
         X
-6/5
Y=sin(2/3x+1)
1
      X
-1
Y=sin(2/3x)
1
      X
-1
Y=sin x
1
       X
-1
Y1
Сжатие вдоль оси ОХ в 2/3 раза
Сдвиг влево на 1 вдоль оси ОХ
Растягивание в 6/5 раза и
переворот вдоль OY

Задание 113.
Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
  

Решение:




   Подстановка:



Задание 123.
         Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x1,x2,x3.  Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.
      
Решение:

 
        Так как ,то функция в точке Х1=-1 непрерывна.

Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.
   
          Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Y=3
Y
X
    -1         0                                  7

Задание 133.
      Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.
 
Решение:


      Так как   , то функция в точке х=-1 разрывна.


       Так как , то функция в точке  непрерывна.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
 Y
  -1                        П/6                                                                  X

Задание 143.
Найти производные
     a)       б)   в)
г)   д)
Решение.
а)

б)

в)
 
г)

д)

Задание 153.
Найти  для функции, заданной параметрическим.

Решение.






Задание 163.
На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой

Решение.
          Угловой коэффициент прямой:   
   или           
 
         Угловой коэффициент касательной к линии: 

      Так как касательная к линии и прямая параллельны, то  
тогда:

   Таким образом получаются две точки:
 
Задание 173.
Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
Решение.





 SHAPE  \* MERGEFORMAT
             B
            R
            O
           R
A                       K                  C

Задание 183.
         Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.
    
Решение.

           1. область определения функции:

     так как  то функция нечетная.
         2. Точки пересечения с осями координат:
При при

           3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

    При  функция возрастает.
    При  функция убывает.
    При  функция убывает.
    При   функция возрастает

     Точка точка максимума.
     Точка точка минимума.
         4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

     При    функция выпукла;
     При    функция вогнута;
    При    функция выпукла;
    При    функция вогнута.


    Точки  - точки перегибов.
         5. Асимптот нет
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Y
   X
           
                              
                                                                        
                                                                                                                           
                                                                                           
                                                                                                                                                                                                                                    
0


1. область определения функции:
2.  точки пересечения с осями координат:
При
     так как  то функция нечетная.
3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.
   
Точек экстремумов нет.
Так как  то функция возрастает.
4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.
      
При   функция вогнута;
При    функция выпукла;
Точка (0;0) точка перегиба.
5. асимптоты.
     
        асимптота.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
0
X
Y
1
  -1

Задание 193.
Определить количество действительных корней уравнения ;
отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

Решение.
Исследуем график функции.
   
Количество корней  К=1.
    

     Таким образом, функция принимает значения на отрезке   ,в качестве начального приближения возьмем
     метод касательных:
     составим таблицу:







1
2
3
-0,1
-0,398
-0,388
-0,001
-0,063
-0,586
1,499
-0,053
-0,0001
5,03
5,475
5,452
0,298
-0,0097
-0,00002
-0/3980
-0,3883
-0,3882
Искомый корень х=-03882
Задание 203.
Найти частные производные функции

Решение.
      Частные производные:


Задание 213.
Дана функция  и две точки . Требуется:
1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;  2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.
       
Вычислим частные производные в точке А.
      
 


Приближенное значение:
       
Вычислим точки значения функции:
       
Относительная погрешность вычисления:
        

Задание 223.
Даны функция  точка  и вектор а.  Требуется найти:
1) grad z в точке А;   2)производную по направлению вектора в точке А.

Решение.
1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:
       
Найдем частные производные в точке А:
        


2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.
        
    
Задание 233.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

Решение.
Частные производные:

На прямой АВ: \
      
На прямой АС: 
        
На прямой ВС: 
             
  
   Z наибольшее =5;   z наименьшее =-117.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
О(0;0)
Y
X








Использованная литература:
 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.
2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:
-М: Оникс 21 век,  2005 г.
3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004       г.

Похожие работы:
Математика 2
Математика 3
Дискретная математика
Дискретная математика 2
Вычислительная математика
Прикладная математика
Высшая математика 2
Математика бесконечности
Математика билеты

Рейтинг@Mail.ru
© Права на базу данных защищены
При копировании материала укажите ссылку